Area Scientifico Disciplinare: Scienze Matematiche

Sebastiano Seatzu è professore ordinario di analisi numerica dal 1980 ed è stato professore di ricerca operativa nel periodo 1981-1995. Nel periodo 1986-1989 è stato Direttore del Dipartimento di Matematica dell'Università di Cagliari ed è stato Presidente del C.C.L. in Ingegneria Elettrica nel periodo 1980-1994. Dopo la laurea in Fisica, conseguita nel 1965, ha preferito dedicarsi all'analisi numerica, lavorando principalmente nella teoria dell'approssimazione e nella risoluzione numerica delle equazioni integrali. I lavori più recenti riguardano la risoluzione numerica delle equazioni integrali di prima specie, l'algebra lineare numerica e le funzioni ortogonali. È autore di 65 pubblicazioni. È inoltre uno degli editori di "Calcolo" e membro del Comitato di redazione di "Advances in Computational Mathematics".

1. VAN DER MEE C.V.M., RODRIGUEZ G., SEATZU S. (2002). Semi-infinite multi-index perturbed block Toeplitz systems. LINEAR ALGEBRA AND ITS APPLICATIONS. In V. Mehrman, D. Bini, G. Heinig, and E. Tyrtyshnikov, editors, Proceedings of the workshop on Structured matrices: Analysis, Algorithms and Applications, Cortona September 25-29, 2000, to appear.
2. VAN DER MEE C.V.M., NASHED M.Z., SEATZU S. (2002). Sampling expansions and interpolation in unitarily translation invariant reproducing kernel Hilbert spaces. ADVANCES IN COMPUTATIONAL MATHEMATICS. to appear.
3. VAN DER MEE C.V.M., RODRIGUEZ G., SEATZU S. (2001). Spectral factorization of bi-infinite multi-index block Toeplitz matrices. LINEAR ALGEBRA AND ITS APPLICATIONS. vol. 343-344, pp. 355-380 Special Issue on Structured and Infinite Systems of Linear Equations.
4. GOODMAN T.N.T., MICCHELLI C.A., RODRIGUEZ G., SEATZU S. (2000). On the Cholesky factorization of the Gram matrix of multivariate functions. SIAM JOURNAL ON MATRIX ANALYSIS AND APPLICATIONS. vol. 22(2), pp. 501-526.
5. VAN DER MEE C.V.M., RODRIGUEZ G., SEATZU S. (1998). Block Cholesky factorization of infinite matrices, and orthonormalization of vectors of functions.

In CHEN Z., LI Y., MICCHELLI C.A., XU Y. Advances in Computational Mathematics. (vol. 202, pp. 423-455). Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics. NEW YORK AND BASEL: M. Dekker Inc. (UNITED STATES).

1.7.2 Personale universitario di altre Università

Nº	Cognome	Nome	Università	Dipart./Istituto	Qualifica	Settore scient.	Mesi uomo
							2002	2003
Personale docente:
Altro personale:

1.7.3 Titolari di assegni di ricerca

Nº	Cognome	Nome	Dipart./Istituto	Anno del titolo	Mesi uomo
					2002	2003

1.7.4 Titolari di borse per Dottorati di Ricerca e ex L. 398/89 art.4 (post-dottorato e specializzazione)

Nº	Cognome	Nome	Dipart./Istituto	Anno del titolo	Mesi uomo
1.	THEIS	DANIELA	MATEMATICA	2001	16  (ore: 2200)

1.7.5 Personale a contratto da destinare a questo specifico programma

Nº	Qualifica	Costo previsto	Mesi uomo

1.7.6 Personale extrauniversitario dipendente da altri Enti

Nº	Cognome	Nome	Ente	Qualifica	Mesi uomo

Sistemi lineari infiniti con matrici strutturate e applicazioni

FATTORIZZAZIONE SPETTRALE ; MATRICI STRUTTURATE INFINITE ; EQUAZIONI INTEGRALI CON NUCLEO STRUTTURATO ; SCATTERING INVERSO ; METODI DI REGOLARIZZAZIONE ; MATRICI DI TOEPLITZ

Su ciascuno dei temi indicati esiste un'ampia letteratura, rappresentata da numerose pubblicazioni su riviste specialistiche, su collane e su proceedings di convegni internazionali. Molti lavori riguardano l'analisi funzionale, la teoria degli operatori lineari e l'analisi numerica. Numerosi sono altresì i problemi a carattere applicativo, in particolare nello scattering inverso in acustica, ottica e nell'elettromagnetismo, la cui risoluzione è strettamente dipendente dalla fattorizzazione di operatori integrali con nuclei strutturati o di loro analoghi discreti.
I risultati dell'analisi funzionale e della teoria degli operatori, di maggiore interesse per il progetto, si trovano nella collana Operator Theory and Applications ed in particolare in [16], [17], [5], [9] e in [15]. I risultati applicativi più interessanti, incluse le metodologie più efficaci nella risoluzione di molti problemi sullo scattering inverso si trovano in [8], [11] e [27]. Per quanto concerne la fattorizzazione spettrale delle matrici di Toeplitz infinite di tipo mono-indice, risultano di preminente interesse i lavori [15], [5] e [6] mentre i risultati di specifico interesse sulle equazioni integrali sono fondamentalmente contenuti in [15], [19], [16] e [17].
I contributi dell'unità locale sulla fattorizzazione spettrale delle matrici di Toeplitz sono contenuti nei lavori [20], [30], [31], [33] e [34].
Nel caso mono-indice, in particolare, oltre ad aver effettuato una approfondita analisi dei metodi riportati nella letteratura sulla fattorizzazione spettrale delle matrici a banda, componenti dell'unita' di ricerca hanno proposto 2 metodi numerici per la fattorizzazione spettrale di matrici di Toeplitz bi-infinite a blocchi in spazi di Banach con peso. Il primo si basa sulla teoria dei polinomi matriciali e il secondo, relativo alle matrici a banda, rappresenta una generalizzazione del "band extension method" proposto nel '89 da Gohberg, Kaashoek e Woerdeman in [17] e [39].
Ambedue i metodi sono stati altresi' utilizzati per una comparazione della loro efficacia numerica nella risoluzione di problemi applicativi; ossia nell'identificazione del profilo limite nel processo asintotico di ortonormalizzazione, con il metodo di Gram-Schmidt, di una successione di vettori di funzioni [21] e per la risoluzione dell'equazione di Poisson su una striscia illimitata [32].
Nel caso multi-indice, la letteratura e' estremamente scarna per la relativa inesistenza di una teoria algebrica sugli operatori matriciali multi-indice, nonostante l'oggettivo interesse per l'argomento in molti settori applicativi. In quest'ultima situazione, ma limitatamente al caso scalare, sono stati sviluppati due metodi di fattorizzazione spettrale in algebre di Banach con peso, rispetto a un prefissato ordinamento totale [22], basandosi per la teoria sui risultati sulle fattorizzazioni spettrali in algebre di Wiener con peso [12].
I risultati ottenuti consentono di caratterizzare il tipo di decadimento sia degli elementi dell'inversa della matrice, sia dei relativi fattori, rispetto alle caratteristiche della matrice. Uno dei due metodi, facilmente implementabile mediante il ricorso alla FFT, e' stato utilizzato per l'identificazione del profilo limite nel processo asintotico di ortonormalizzazione, mediante il metodo di Gram-Schmidt, di successioni di traslate uniformi di una prefissata funzione multivariata. Poiche' le traslazioni dipendono dall'ordinamento prefissato, sono stati forniti degli esempi numerici, basati sulle box-splines lineari, per evidenziare la dipendenza del profilo limite dall'ordinamento prefissato. L'efficacia numerica dei due metodi proposti e' stata inoltre confrontata nella risoluzione di un sistema semi-infinito, la cui matrice compare nella letteratura come esempio di matrice multi-indice di Toeplitz definita positiva e a banda, avente fattori di Cholesky non a banda. Situazione peculiare del caso multi-indice, nel senso che, nel caso mono-indice, i fattori di Cholesky di una qualsiasi matrice a banda, simmetrica e definita positiva, sono sempre a banda.
Nel caso multi-indice a blocchi, sono stati ottenuti soltanto risultati parziali sulla fattorizzazione. In particolare, non si e' ancora riusciti a caratterizzare il tipo di decadimento degli elementi dei fattori di Cholesky di una matrice multi-indice a blocchi e definita positiva, rispetto a quello degli elementi della matrice considerata. D'altra parte, e' stato proposto un metodo di "band extension" nel caso bi-indice che si basa sulla formula di Christoffel-Darboux per i polinomi in due variabili [14].
Per quanto concerne la risoluzione dei sistemi lineari infiniti, il principale risultato ottenuto dall'unità locale, e di fondamentale importanza per il progetto, riguarda la risoluzione dei sistemi semi-infiniti di Toeplitz e loro perturbazioni. Nei lavori [32] e [35], sono stati proposti dei metodi numerici per la loro risoluzione in algebre di Banach con peso. Il metodo per la risoluzione dei sistemi perturbati è nuovo e la sua efficacia numerica è stata validata sia nella risoluzione dell'equazione di Poisson su una striscia, sia nella risoluzione di sistemi le cui matrici sono matrici di Gram associate alle traslate intere positive di un prefissato vettore di funzioni.
Le ricerche previste sullo studio delle equazioni integrali lineari si basano in parte su risultati concernenti gli analoghi discreti [36]. Per la risoluzione numerica delle equazioni integrali con nucleo strutturato (per esempio, di convoluzione) e' molto utile applicare una discretizzazione che conduca ad un sistema lineare strutturato sulla base di risultati recentemente ottenuti sul campionamento in spazi di Hilbert con nucleo di riproduzione [3] e [29]. Poiche' molte applicazioni, quali problemi di scattering inverso o di image processing, si riducono ad una equazione integrale di prima specie, e' necessario affrontare il corrispondente sistema lineare strutturato e mal condizionato con metodi di regolarizzazione che traggano vantaggio dalla struttura. La teoria della regolarizzazione [24] e alcuni risultati ottenuti dall'unita' locale [7], [38], mediante l'applicazione di algoritmi veloci per matrici con struttura di displacement [25], [10], [18], [26], costituiscono una valida base di partenza per lo studio di questo problema.
Per produrre software prototipale sulla risoluzione dei sistemi semi-infiniti verranno utilizzati i codici di calcolo sviluppati localmente per la risoluzione di sistemi di Toeplitz, scalari e a blocchi, di tipo mono-indice e scalari di tipo multi-indice e di loro perturbazioni. A tale scopo sarà essenziale la collaborazione con le altre unità, per la scelta degli algoritmi ottimali nella risoluzione di sistemi lineari finiti di grandi dimensioni, come richiesto nella utilizzazione della projection method.

[1] T. Aktosun, M. Klaus, and C. van der Mee. Wave scattering in one dimension with absorption. J. Math. Phys., 39, 1957-1992 (1998).
[2] T. Aktosun, M. Klaus, and C. van der Mee. Direct and inverse scattering for selfadjoint Hamiltonian systems on the line. Integral Equations and Operator Theory 38, 129-178 (2000).
[3] A. Aldroubi and K. Groechenig. Nonuniform sampling and reconstruction in shift-invariant spaces. SIAM Review 43(4), 585-620 (2001).
[4] D. Bini, G.M. Del Corso, G. Manzini, and L. Margara. Inversion of circulant matrices over Zm . Math. Comp. 70, 1169-1182 (2001).
[5] A. Boettcher and B. Silbermann. Analysis of Toeplitz operators. Springer, New York, 1990.
[6] A. Boettcher and B. Silbermann. Introduction to large truncated Toeplitz matrices. Springer, New York, 1999.
[7] C. Brezinski, M. Redivo-Zaglia, G. Rodriguez, and S. Seatzu. Multiparameter regularization techniques for ill-conditioned linear systems, 2001, to appear.
[8] K. Chadan and P. C. Sabatier. Inverse Problems in Quantum Scattering Theory, 2nd ed., Springer, New York, 1989.
[9] K. Clancey and I. Gohberg. Factorization of Matrix Functions and Singular Integral Operators, volume 3 of Operator Theory: Advances and Applications. Birkhauser, Basel-Boston, 1981.
[10] T. Constantinescu, A.H. Sayed, and T. Kailath. Displacement structure and H-infinity problems. System theory: Modeling, analysis and control. Kluwer, Boston, 2000.
[11] W. Eckhaus and A. van Harten. The inverse scattering transformation and the theory of solitons. An introduction. North-Holland Mathematics Studies, 50. North-Holland, Amsterdam, 1981.
[12] T. Ehrhardt and C. van der Mee. Canonical factorization of continuous functions on the d-torus. Proc. Amer. Math. Soc., to appear.
[13] J. Engwerda, A.C.M. Ran, and A.L. Rijkeboer. Necessary and sufficient conditions for the systems of a positive definite solution of the matrix equation X+A^*X^{-1}A=Q. Linear Algebra Appl. 186, 255-275 (1993).
[14] J.S. Geronimo and H. Woerdeman. Positive extensions and Riesz-Fejer factorization for two-variable trigonometric polynomials, to appear.
[15] I.C. Gohberg and I.A. Feldman. Convolution Equations and Projection Methods for their Solution, volume 41 of Translations of Mathematical Monographs. Amer. Math. Soc., Providence, 1974.
[16] I. Gohberg, S. Goldberg, and M.A. Kaashoek. Classes of Linear Operators, Vol. I, volume 49 of Operator Theory: Advances and Applications. Birkhauser, Basel-Boston, 1990.
[17] I. Gohberg, S. Goldberg, and M.A. Kaashoek. Classes of Linear Operators, Vol. II, volume 63 of Operator Theory: Advances and Applications. Birkhauser, Basel-Boston, 1993.
[18] I. Gohberg, T. Kailath and V. Olshevsky. Fast gaussian elimination with partial pivoting for matrices with displacement structure. Math. Comp., 64(212), 1557-1576 (1995).
[19] I.C. Gohberg and M.G. Krein. Systems of integral equations on a half-line with kernels depending on the difference of arguments. Uspekhi Matem. Nauk, 13(2), 3-72 (1958) (Russian); English translation: Amer. Math. Soc. Transl., Series 2, 14:217-287 (1960).
[20] T.N.T. Goodman, C.A. Micchelli, G. Rodriguez, and S. Seatzu. Spectral factorization of Laurent polynomials. Adv. in Comp. Math., 7:429-454, 1997.
[21] T.N.T. Goodman, C.A. Micchelli, G. Rodriguez, and S. Seatzu. On the limiting profile arising from orthonormalizing shifts of exponentially decaying functions. IMA J. Num. Anal., 18(3):331-354, 1998.
[22] T.N.T. Goodman, C.A. Micchelli, G. Rodriguez, and S. Seatzu. On the Cholesky factorisation of the Gram matrix of multivariate functions. SIAM J. Matrix Anal. Appl., 22(2):501-526, 2000.
[23] Chun-Hua Guo and P.Lancaster. Analysis and modifications of Newton's method for algebraic Riccati equations. Math. Comp. 67, no.223, 1089-1105 (1998).
[24] P.C. Hansen. Rank-deficient and discrete ill-posed problems. Numerical aspects of linear inversion. SIAM, Philadelphia, 1997.
[25] G. Heinig and K. Rost. Algebraic methods for Toeplitz-like matrices and operators. Vol. 13 of Operator Theory: Advances and Applications, Birkhauser, Basel-Boston, 1984.
[26] T. Kailath and A.H. Sayed. Displacement structure: Theory and applications. SIAM Review 37(3): 297-386 (1995).
[27] V. A. Marchenko. Sturm-Liouville operators and applications, Birkhauser, Basel, 1986.
[28] J.W. McLean and H.J. Woerdeman. Spectral factorizations and sum of squares representations via semidefinite programming. SIAM J. Matrix Anal. Appl. 23(3): 646-655 (2001).
[29] C. van der Mee, M.Z. Nashed, and S. Seatzu. Sampling expansions and interpolation in unitarily translation invariant reproducing kernel Hilbert spaces. Adv. Comp. Math., to appear.
[30] C.V.M. van der Mee, G. Rodriguez, and S. Seatzu. LDU factorization results for bi-infinite and semi-infinite scalar and block Toeplitz matrices. Calcolo, 33:307-335, 1996.
[31] C.V.M. van der Mee, G. Rodriguez, and S. Seatzu. Block Cholesky factorization of infinite matrices, and orthonormalization of vectors of functions. In Z. Chen, Y. Li, C.A. Micchelli, and Y. Xu, editors, Advances in Computational Mathematics, volume 202 of Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, pages 423-455, New York and Basel, 1998. M. Dekker Inc.
[32] C.V.M. van der Mee, G. Rodriguez, and S. Seatzu. Solution methods for semi-infinite linear systems of block Toeplitz type and their perturbations. in D. Bini, E. Tyrtyshnikov, and P. Yalamov, editors, Structured Matrices: Recent Developments in Theory and Computations, pages 93-109, New York, 2000. Nova Science Publisher Inc.
[33] C.V.M. van der Mee, G. Rodriguez, and S. Seatzu. Spectral factorization of bi-infinite block Toeplitz matrices with applications. In L. Brugnano and D. Trigiante, editors, Recent Trends in Numerical Analysis, Nova Science Publ., New York, 2000, pp. 203-225.
[34] C.V.M. van der Mee, G. Rodriguez, and S. Seatzu. Spectral factorization of bi-infinite multi-index block Toeplitz matrices. Linear Algebra and its Applications 343-344: 355-380 (2001).
[35] C.V.M. van der Mee, G. Rodriguez, and S. Seatzu. Semi-infinite multi-index perturbed block Toeplitz systems. Linear Algebra and its Applications, 2002, to appear.
[36] S. Proessdorf and B. Silbermann. Numerical analysis for integral and related operator equations. Vol. 52 of Operator Theory: Advances and Applications, Birkhauser, Basel-Boston, 1991.
[37] L. Rodman. Operator Polynomials, Vol. 38 of Operator Theory: Advances and Applications, Birkhauser, Basel-Boston, 1989.
[38] G. Rodriguez, S. Seatzu, and D. Theis. A new technique for ill-conditioned linear systems, submitted, 2001.
[39] H.J. Woerdeman. Matrix and Operator Extensions. CWI Tract 68, Centre for Mathematics and Computer Science, Amsterdam, 1989.

La presente unita', conformemente con quanto concordato con le altre unità, svolgerà le proprie ricerche sulle seguenti tematiche:
1) analisi di matrici infinite strutturate di tipo multi-indice, intendendo per multi-indice quelle matrici i cui elementi, scalari o a blocchi, sono caratterizzati da una coppia di indici vettoriali;
2) risoluzione di sistemi lineari infiniti con matrici strutturate e loro perturbazioni;
3) risoluzione numerica dei sistemi lineari finiti con matrici strutturate, con particolare enfasi a quelle malcondizionate;
4) applicazione dei risultati alla risoluzione numerica di equazioni integrali con nuclei strutturati e loro perturbazioni, di particolare interesse in acustica, elettromagnetismo e nella geofisica applicata;
5) sviluppo di software prototipale.
1) Per quanto riguarda il primo tema, le ricerche principalmente riguarderanno la fattorizzazione spettrale delle matrici multi-indice di Toeplitz a blocchi in algebre di Wiener con peso. Tale studio, anche se concerne gli aspetti teorici della fattorizzazione e la metodologia di analisi è quella delle algebre di Banach con peso, è di importanza fondamentale per lo sviluppo di metodi numerici efficienti sulla fattorizzazione spettrale e, di conseguenza, per la risoluzione dei sistemi lineari semi-infiniti con matrici di Toeplitz multi-indice.
Infatti, poiché ogni elemento della soluzione dei sistemi semi-infiniti con matrici di Toeplitz è esprimibile mediante una serie, i cui coefficienti derivano dalla fattorizzazione spettrale della matrice, ai fini della sua valutazione numerica, è assolutamente necessario conoscere il comportamento asintotico dei suoi elementi. Questo tipo di risultati esiste nel caso scalare, ossia per matrici di Toeplitz multi-indice con elementi scalari [12] e [32].
L'estensione al caso a blocchi della metodologia sviluppata nel caso scalare non è possibile, in quanto in essa viene sistematicamente utilizzata la commutatività dei prodotti degli elementi. Non è d'altronde possibile neppure l'estensione al caso multi-indice dei risultati sulla fattorizzazione delle matrici di Toeplitz a blocchi di tipo mono-indice, in quanto quest'ultima si basa sulla teoria dei polinomi matriciali, oppure sulla compattezza delle matrici di Hankel e, nel caso multi-indice, oltre a non esistere un equivalente della teoria dei polinomi matriciali [37], non vale la compattezza delle matrici semi-infinite di Hankel.
2) Per quanto riguarda la risoluzione dei sistemi lineari semi-infiniti con matrici mono-indice di Toeplitz a blocchi , ci si propone di effettuare un'analisi comparativa sull'efficacia dei metodi esistenti, in funzione delle proprietà di decadimento degli elementi della matrice del sistema e della complessita'. In via prioritaria, essa riguarderà il metodo, basato sulla teoria dei polinomi matriciali, proposto in [31], il band extension method nella forma proposta in [32], il metodo di programmazione semidefinita [28] e metodi basati sulla risoluzione di equazioni matriciali quadratiche [13] e [23].
Nel caso dei sistemi infiniti di Toeplitz a blocchi con matrici multi-indice, a differenza di quanto avviene nel caso mono-indice, la ricerca è in una fase ancora iniziale, da un lato per le difficoltà connesse con la fattorizzazione spettrale delle matrici in algebre di Wiener con peso, dall'altro per le notevoli dimensioni dei sistemi da risolvere, in caso di ricorso a tecniche di tipo "projection method". A tale scopo risulteranno molto utili le tecniche specializzate oggetto di ricerca da parte dell'unità 1. Si intende altresì continuare lo studio dei sistemi lineari semi-infiniti, le cui matrici sono perturbazioni di matrici di Toeplitz.
L'unità locale ha proposto recentemente un metodo innovativo per la risoluzione di tali sistemi, nel caso mono-indice a blocchi [32], e sta completando la sua estensione al caso multi-indice scalare. Come è stato dimostrato in [32] la strategia di calcolo proposta, sotto ipotesi generalmente verificate nelle applicazioni, consente di risolvere il sistema perturbato con una precisione del tutto analoga a quella ottenibile nella risoluzione del sistema di Toeplitz di riferimento. Tale metodo è stato validato numericamente nella risoluzione dell'equazione di Poisson su una striscia illimitata e nella risoluzione di sistemi semi-infiniti derivanti dal processo asintotico di ortonormalizzazione in intervalli di ampiezza crescente delle traslate uniformi di un prefissato vettore di funzioni [32].
Nel caso multi-indice a blocchi, esistono difficoltà di vario tipo. In primo luogo quelle connesse con la fattorizzazione spettrale in algebre di Wiener con peso, e in secondo luogo quello di metodi numerici efficienti. Una difficoltà teorica di particolare rilievo, che non ha un equivalente nel caso mono-indice è la seguente: la fattorizzazione spettrale, in un'algebra di Banach con peso, di una matrice multi-indice a blocchi non sempre genera fattori in un'algebra di Banach con lo stesso peso. Questo risultato, non ancora pubblicato, è stato ottenuto con il contributo dell'unità locale. Nel caso monoindice a blocchi questa possibilità non esiste, in quanto i fattori, generati dalla fattorizzazione spettrale, così come i loro inversi presentano lo stesso tipo di decadimento. Questo fatto complica enormemente la generazione di metodi numerici efficienti per la fattorizzazione spettrale e, di conseguenza, la risoluzione di sistemi semi-infiniti con matrici multi-indice di Toeplitz a blocchi e loro perturbazioni. Recentemente e' stato sviluppato un interessante metodo "band extension" nel caso bi-indice [14], ma finora questo metodo non ha portato ad un algoritmo numerico efficiente e non e' stato effettuato un confronto dei risultati con quelli riportati in [32]. L'unita' locale si propone di studiare accuratamente tale metodo dal punto di vista teorico e di effettuare una ampia e approfondita comparazione tra l'efficacia numerica e la complessita' computazionale di tale metodo con quelle del metodo proposto in [32].
3) La teoria e il calcolo numerico delle soluzioni dei sistemi finiti con matrici strutturate verranno principalmente studiati dalle altre unita'. Poiche' i sistemi finiti, in particolare quelli malcondizionati, servono per risolvere le equazioni integrali lineari di prima specie provenienti dallo scattering inverso (vedi 4)), l'unita' locale si propone di studiare anche i sistemi finiti con matrici strutturate (in particolare quelle mal condizionate). In generale, non e' facile estendere metodi sviluppati per i sistemi monoindice a quelli multiindice, tranne nel caso in cui la matrice strutturata e' circolante [4]. Cio' suggerisce di affrontare un sistema con matrice di Toeplitz immergendolo in un sistema circolante di ordine leggermente aumentato. L'unita' locale si propone di generalizzare tale metodo di immersione circolante ai sistemi multiindice con matrici di Toeplitz. Per tener conto del fatto che molti sistemi di questo tipo di interesse applicato sono malcondizionati, si propone inoltre di sviluppare un metodo di regolarizzazione mirato ai sistemi strutturati multiindice.
4) Poiché i sistemi lineari con matrici strutturate rappresentano l'analogo discreto delle equazioni integrali con nuclei strutturati, esiste tra le due problematiche una naturale e profonda connessione potenzialmente molto proficua, ma attualmente non adeguatamente valorizzata. Fondamentalmente questo dipende dal fatto che la teoria degli operatori è stata finora sviluppata dagli analisti funzionali e la teoria delle matrici strutturate dagli analisti numerici. Uno degli obiettivi principali di questo progetto è stabilire una sinergica collaborazione tra studiosi dei due settori, allo scopo di sviluppare metodologie innovative nella risoluzione numerica dei sistemi lineari e delle equazioni integrali con nuclei strutturati. Dal punto di vista teorico bisogna sviluppare discretizzazioni di tali operatori integrali che conducano a matrici strutturate, con proprietà strutturali analoghe e dimostrare la convergenza della soluzione del sistema strutturato alla soluzione dell'equazione integrale.
In particolare sembra promettente la risoluzione in spazi di Hilbert che consentono l'utilizzo della teoria del campionamento [3] e [29].
L'unità locale si propone di sviluppare sia il background teorico necessario sia tecniche di calcolo efficienti per la risoluzione numerica di equazioni integrali di tipo strutturate nel piano e nel semispazio e di loro perturbazioni. Lo sviluppo della teoria ha come obiettivo primario l'estensione alle equazioni integrali della metodologia sviluppata per i sistemi finiti e semi-infiniti. In particolare, bisogna approfondire i metodi di regolarizzazione per i sistemi mal condizionati e adattarli ai sistemi con matrici strutturate. Un campo di applicazione importante, nel quale esistono significativi contributi dell'unità locale [1] e [2], è rappresentato dallo scattering inverso in acustica e in meccanica quantistica.
L'unita' si propone, inoltre, di sviluppare metodologie di calcolo per sistemi lineari strutturati fortemente mal condizionati mediante l'applicazione di algoritmi veloci basati sulla struttura di displacement a metodi di regolarizzazione alla Tikhonov. Tali metodologie dovrebbero consentire, nei casi estremamente frequenti in cui la stessa matrice di regolarizzazione sia strutturata, di operare su sistemi lineari caratterizzati da diversi tipi di struttura di displacement, quali ad esempio quelle di Toeplitz, Hankel o di Cauchy, di particolare interesse nella risoluzione numerica di equazioni integrali con nucleo strutturato.
Un'applicazione di effettivo interesse ingegneristico per le metodologie di cui al punto 2) riguarda la risoluzione dell'equazione di Helmholtz su una striscia sottile illimitata, che equivale allo studio della propagazione sia del suono, sia delle onde elettromagnetiche nelle guide d'onda. Esistono due situazioni di particolare interesse applicativo: la prima relativa a guide formate da materiale omogeneo e la seconda relativa a guide contenenti delle disomogeneità in domini limitati.
L'applicazione della tecnica delle differenze finite, nel primo caso richiede la risoluzione di un sistema di Toeplitz tridiagonale a blocchi e nel secondo caso di una sua perturbazione. L'idea è di utilizzare il metodo proposto in [32] per la risoluzione del sistema perturbato. La sua adozione non è semplice in quanto, per una effettiva utilizzazione ingegneristica dei risultati, deve esistere una precisa relazione tra il modulo della mesh di discretizzazione e la lunghezza dell'onda utilizzata, e questo rende necessario lo sviluppo di tecniche particolari di tipo domain-decomposition.
La risoluzione dello stesso tipo di problema nel semipiano o nel semispazio, comporta la risoluzione di sistemi multi-indice di Toeplitz a blocchi o di loro perturbazioni. La effettiva possibilità di risolvere tale problema è strettamente dipendente dalla fattorizzazione delle matrici multi-indice di Toeplitz a blocchi.
Un'applicazione di interesse strettamente numerico, che si pensa di poter realizzare, riguarda la generazione di precondizionatori per matrici di notevoli dimensioni, sia scalari sia a blocchi, che siano perturbazioni di matrici di Toeplitz definite positive. L'idea base è di associare a ciascuna di esse una matrice di Toeplitz bi-infinita, eseguire la fattorizzazione di Cholesky della sua inversa, ridurre i fattori alla dimensione richiesta ed utilizzarli come fattori di precondizionamento.
L'unità locale si propone infine di applicare i risultati teorici e numerici sulle equazioni integrali alla risoluzione di problemi tipici della geofisica applicata e dello scattering inverso in acustica e in meccanica quantistica. Più precisamente, nel settore della geofisica applicata ci si propone di utilizzarli per la risoluzione di equazioni integrali connesse con la identificazione delle disomogeneità del sottosuolo con metodologie acustiche e sismiche e, nel settore dello scattering inverso in acustica e in meccanica quantistica, alla risoluzioni di equazioni con nucleo integrale dipendente dalla somma degli argomenti, in quanto di prevalente interesse nel settore [8], [11] e [27]. Per un'idea dei contributi dell'Unità locale in tale settore si vedano, in particolare, [1] e [2].
5) Ci si propone infine di ampliare e di perfezionare, nelle diverse fasi operative, il software finora sviluppato per la risoluzione dei sistemi di Toeplitz semi-infiniti e loro perturbazioni. A tale scopo sarà essenziale disporre, in particolare, di algoritmi efficienti per la risoluzione di sistemi con matrici di Toeplitz scalari e a blocchi, finiti ma di grandi dimensioni e di loro perturbazioni.